Wir leben unbezweifelbar in einer dynamischen Welt. Anzeichen für diese Dynamik ist schon der Umstand, daß Kulturdiagnostiker immer wieder neue Etiketten für unsere Gesellschaft finden. So ist die Informationsgesellschaft, an die wir uns zu gewöhnen begannen, inzwischen zur Wissensgesellschaft mutiert. ,,Informationsgesellschaft'' ist ein deskriptiver Terminus, der auf die technologisch bedingte Informationsflut abhebt, die es zu verwalten gilt, um sie beherrschbar zu machen - dies natürlich wieder unter Anwendung technischer Hilfsmittel. In der Informationsgesellschaft reagieren wir auf das Anschwellen der Informationsmenge, das als solches kaum intendiert, aber eine unvermeidliche Folge technologischen Fortschritts ist, insbesondere der sich beschleunigenden Durchdringung der Gesellschaft mit Informationstechnologien. Diese reaktive Komponente des Umgangs mit Informationen läßt eine negative Konnotation des Terminus ,,Informationsgesellschaft'' entstehen. Zuviel Information kann schaden, weil sie den Blick für das Wichtige, das Wesentliche verstellt.

Schadet aber zuviel Wissen? Kann es das überhaupt geben: ,,zuviel Wissen''? Wohl kaum! Und insofern kann die Umetikettierung der Informationsgesellschaft als Ausdruck von political correctness gewertet werden. Natürlich geht es auch in einer Wissensgesellschaft darum, aufgelaufenes Wissen beherrschbar und verfügbar zu machen. Der Unterschied zur Informationsgesellschaft liegt in der uneingeschränkt positiven Konnotation von ,,Wissen''. Von jedem Mitglied der Wissensgesellschaft wird die aktive Teilnahme am Prozeß der Wissensaquisition und Wissensgenerierung eingefordert. ``Life long learning'' ist ein damit zusammenhängendes Schlagwort. Es bezeichnet den permanenten Wissenserwerb auch über die schulische und eigentliche Berufsausbildung hinaus.

Mir wird es in dem Vortrag vor allem um einen speziellen Aspekt der Wissensgenerierung gehen, also um innovative und kreative Prozesse, die im Brennpunkt der gesellschafts- und bildungspolitischen, vor allem aber der ökonomischen Diskussion stehen, wird doch von ihnen der Weg aus der allgegenwärtigen Krise erwartet. Es scheint, als spiele die formale Logik in diesen Prozessen keine große Rolle, ja als werde sie systematisch von ihnen abgekoppelt. Schon Kant hatte uns darüber belehrt, daß logische Sätze analytische Urteile seien, die unsere Erkenntnisse nicht erweitern können. Die traditionelle Wissenschaftstheorie wurde nicht müde, den tautologischen Charakter logischer Sätze zu betonen. Tautologische Sätze haben natürlich keinen propositionalen Gehalt und können daher auch kein Wissen repräsentieren.

Ich werde in zwei Schritten vorgehen. Zunächst werde ich kurz skeptische Positionen besprechen, die darauf hinauslaufen, der formalen Logik jeden Wert für die Erkenntnisgewinnung abzusprechen. Diese Skepsis wurde von Erkenntnistheorie und Wissenschaftstheorie sogar noch dahingehend verstärkt, daß die Frage, auf welche Weise Wissen zustandekommt, als philosophisch irrelevant oder nicht zum Gegenstandsbereich der Wissenschaftstheorie gehörig ausgeschlossen wurde.2 Damit blieb auch die Rolle der Logik bei der praktischen Wissensgenerierung, wenn es denn eine gibt, unbeachtet. Zum Abschluß dieses Teils werde ich auf zwei Konzeptionen eingehen, die auf eine Änderung dieser restriktiven Haltung hinweisen.

In meinem zweiten Teil werde ich zeigen, daß sich die hier in Erkenntnistheorie und Wissenschaftstheorie ermittelten Konstellationen auf die Philosophie der Mathematik übertragen lassen, insbesondere auf die Bewertung von axiomatischen Systemen des Hilberttyps. Ich werde mich in einer historischen Analyse mit Carlo Celluccis Vorwurf auseinandersetzen, daß diese axiomatischen Systeme ``closed systems'' seien und wegen der Gödelschen Ergebnisse für eine Begründung der Mathematik nicht taugen. Cellucci zieht aus dieser Behauptung die Konsequenz, daß die deduktive Logik, die diesen Systemen zugrundeliege, durch eine ``computational logic'' zu ersetzen sei. Ich beabsichtige nicht, den Wert dieser ``computational logic'' in explorativen Prozessen zu bezweifeln. Ich werde vielmehr das historische Bild entzerren, das als Motivation für die Bevorzugung dieser Logik herhalten muß. Es ist nämlich keineswegs so, daß axiomatische Systeme des Hilberttyps geschlossene Systeme sind. Hilbert selbst charakterisiert sie als Ergebnis der Anwendung des ,,axiomatischen Verfahrens'', worunter er nicht etwa den formalistischen, axiomatisch-deduktiven Aufbau von Satzsystemen versteht, sondern gerade umgekehrt den Prozeß der Generierung von Axiomensystemen zu gegebenen Satzmengen in Mathematik und Naturwissenschaften. Die axiomatische Methode ist also eine rückschreitende, regressive Methode, die ein Muster für das Zusammenwirken analytischer (also kreativer) und synthetischer (logischer) Methoden abgeben kann. Die historische Untersuchung wird Hinweise auf die heuristische Rolle der formalen Logik in Generierungsprozessen von axiomatischen Systemen bzw. allgemein bei der Auszeichnung von Anfangssätzen für den deduktiven Aufbau von Satzsystemen geben.

Es ist die vorgebliche Unfruchtbarkeit logischer Verfahren (vgl. Gabriel 1997 , 31-36), gepaart mit den normativen Ansprüchen aristotelisch-scholastischer Syllogistik, die den Grund für die Kritik an der formalen Logik abgibt: Logik tötet die Kreativität. Dies ist die Lehre, die wir dem mephistophelischen Rat an den Scholaren entnehmen können, zuerst das Collegium Logicum zu besuchen, das den Geist dressiere, in das Folterinstrument der Spanischen Stiefel einschnüre und sodann die zuvor irrlichternden Gedanken in bedächtigerer Weise dahinschleichen lasse.3

Schon Descartes hatte im 17. Jahrhundert von der Zügelung der Vernunft durch die Vorschriften der Dialektiker gesprochen (Descartes 1701 ; Reg. X.4), von ,,syllogistischen Fesseln''. Die Dialektik vermag nichts Neues zu erfassen, so betonte er, allenfalls bekannte Einsichten einfacher darzustellen (Reg. X.5). Trotz dieser ihr zugestandenen Leistung riet er sogar, die syllogistischen Formen insgesamt zu verwerfen ( Reg. XIV.2). Die Jansenistischen Cartesianer Antoine Arnauld und Pierre Nicole präsentierten in der ,,Logik von Port Royal'' die Lehren der scholastischen formalen Logik als Objekt einer heroischen Übung, der sie den Zweck zuwiesen, einer Schrumpfung der Fassungskraft des Geistes entgegenzuwirken (1662 , dt. Ausg. 9f.).

Kant stritt der Logik die Werkzeugfunktion im Rahmen einer ars inveniendi ab, wie sie noch in der rationalistischen Tradition von Leibniz bis Lambert betont worden war. ,,Die Logik ist'', so schrieb er, ,,[ ...] keine allgemeine Erfindungskunst und kein Organon der Wahrheit; - keine Algebra, mit deren Hülfe sich verborgene Wahrheiten entdecken ließen'' (Kant 1800 , A 17). Sie sei lediglich ein Kanon, also ein Regelwerk, das zur Beurteilung von Erkenntnis eingesetzt werden könne (KrV B 85).

Zu Kants berühmter Einschätzung, daß die Logik seit Aristoteles keinen Schritt rückwärts, aber auch keinen Schritt vorwärts getan habe (KrV B VIII), bemerkt Hegel, daß man dies kaum preisen könne, sondern daraus eher folgern müsse, ,,daß sie [die Logik] um so mehr einer totalen Umarbeitung bedürfe'' (Hegel 1812/13 , Einleitung, XVIf.). Mit Bezug auf die seinerzeit aktuellen Kalkülverfahren von Lambert, Euler und Ploucquet spricht er vom ,,todten Inhalt der Logik'' (ebd., XVII), einer Logik, die sich in völlig analytischen Verfahren und begrifflosem Kalkulieren erschöpfe (ebd., XVIII) und die in ihrer Anbindung an die Mathematik wegen der untergeordneten Wissenschaftlichkeit letzterer auch in methodischer Hinsicht keine Wissenschaft sein könne (ebd.).

Ähnliche Urteile finden sich im Neukantianismus. Hermann Cohen, der Begründer der als ,,logizistisch-methodologisch'' charakterisierten Marburger Schule (vgl. Oesterreich [Hg.] 1923 , 434-449), schrieb gegen das ,,Gespenst der formalen Logik'' an (1914 , 13): ,,Wir bekämpfen nicht nur ihr sachliches Recht; wir bestreiten auch ihre reale Existenz'' (ebd., 503). Wilhelm Windelband, Kopf der Südwestdeutschen Schule des Neukantianismus, sprach noch 1904 im Zusammenhang mit den britischen Streitereien um die Quantifikation des Prädikats von einer ,,Logik des grünen Tisches'' (1904 , 167), in der der ,,lebendige Sinn aller Urteile, die ein sachliches Verhältnis zwischen Subjekt und Prädikat behaupten oder zu verneinen berufen sind, rettungslos unter den Tisch'' gefallen sei. Wie die Logiker von Port Royal wollte er allerdings der formalen Logik ,,das Verdienst einer Übung formalen Scharfsinns'' nicht absprechen. Sie sei ein ,,logischer Sport'' (ebd.).

Lassen Sie mich diese Durchsicht mit einem Beispiel aus neuester Zeit beenden. In ihrem dekonstruktivistischen Buch Die Logik und das Schweigen kritisiert Käthe Trettin Freges Abkehr von der Alltagssprache durch seine Konzentration auf Beurteilbares. Dies lasse ihn den größten Teil unserer Sprachspiele und Sprechakte ignorieren, schlimmer noch: auf die gewünschte logikfähige Form zurechtbiegen (Trettin 1991 , 75). Freges logischer Ariadnefaden erweise sich so ,,weniger als Band der Erlösung aus dem Labyrinth, sondern eher als Gängelband des Denkens'' (ebd., 91).

Wir sehen: alle Sorten formaler Logik sind von der Kritik betroffen: von der aristotelisch-scholastischen Syllogistik über die frühen rationalistischen Logikkalküle zu modernen algebraischen und mathematisch-logischen Systemen. Kennzeichen aller dieser Kritiken ist, daß sie den Anwendungsaspekt der Logik nicht berücksichtigen. Zunächst muß doch auffallen, daß deduktive Verfahren wie Kombinatorik und Syllogistik noch von Leibniz als die wichtigsten Hilfsmittel einer ,,Erfindungskunst'' (ars inveniendi ) gehandelt wurden. Sie haben diesen Werkzeugcharakter in ihrer Anwendung auf den unendlichen und für den Menschen prinzipiell nicht vollständig zugänglichen Bereich aller Sachverhalte bzw. Wahrheiten. Mit Hilfe von Syllogistik, Kombinatorik und kalkulatorischen Verfahren ist es möglich, den Zugriff des Menschen auf diesen Bereich sukzessive zu erweitern. Die Verfahren liefern neue Erkenntnisse in dem ganz trivialen Sinne, daß sie Sätze produzieren können, die zuvor unbekannt waren. Der Algorithmus zur Produktion von Primzahlen z. B. liefert mit jedem Durchlauf eine neue, bisher noch nicht gekannte Primzahl.

Neben diesem Aspekt logisch-kalkulatorischer Verfahren als (Er)findungslogik (logic of discovery ) wird auch die logische Komponente beim Prozeß der Überprüfung von Hypothesen (hypothesis assessment ) unterschätzt und dies gleich in zweifacher Hinsicht. Die Feststellung, daß eine Hypothese logisch aus wahren oder als wahr unterstellten Sätzen folgt, ist natürlich erkenntnis"-erweiternd. Aber auch bei der Strukturierung von Satzsystemen bildet die zugrundegelegte Logik den Leitfaden für das Vorgehen. Denn die Relationen zwischen den geordneten Sätzen müssen bei gelungener Strukturierung durch die zugrundegelegte Logik ausdrückbar sein. Die Geringschätzung dieser heuristischen Funktion der Logik im Rahmen von Strukturierungsleistungen wurde sicherlich durch die restriktive Haltung der Wissenschaftstheorie seit Kant befördert.

Karl Popper hat in seiner Logik der Forschung bemerkt, daß die Art und Weise, wie Theorien aufgestellt werden, der logischen Analyse weder fähig noch bedürftig sei. An solchen ,,quid facti''-Fragen habe wohl die empirische Psychologie ein Interesse, nicht aber die ,,Erkenntnislogik'' oder Wissenschaftstheorie, die sich nur mit der Geltungsfrage (,,quid juris'') beschäftige (Popper 1971 , 6). Popper nahm damit eine klassische Unterscheidung von Kant auf, die dieser aus dem juristischen Sprachgebrauch seiner Zeit übernommen hatte. Kant hatte nämlich in seiner Kritik der reinen Vernunft ,,die Frage über das, was Rechtens ist (quid iuris), von der, die die Tatsache angeht (quid facti)'' unterschieden (KrV B 116). Auch die Kantsche Verwendung des Terminus ,,Deduktion'' ist dem Rechtswesen entnommen. Dort bezeichnet ,,Deduktion'' den Nachweis eines Rechtsanspruchs. Weiter geht für Kant die Parallelität allerdings nicht. Kritische Philosophie handelt nämlich von reinen, von jeder Erfahrung unabhängigen Begriffen, deren Deduktion also auch auf keinerlei Erfahrungen rekurrieren kann und daher transzendentale Deduktion sein muß. Da es nun gerade diese transzendentalen Begriffe sind, auf denen die Metaphysik und damit die für Kant eigentliche Philosophie aufgebaut werden soll, wird die quid-facti -Frage aus der Philosophie als irrelevant verabschiedet.

Hans Reichenbach hat die von Popper aufgenommene erkenntnistheoretische Unterscheidung zwischen Genese und Geltung auf die griffige Formel des Antagonismus zwischen Entdeckungszusammenhang (``context of discovery'') und Begründungszusammenhang (``context of justification'') gebracht (1983 , 3), aber ebenfalls betont, daß sich eine Erkenntnistheorie nicht mit dem Entdeckungszusammenhang beschäftige. Ihre Aufgabe sei nämlich nicht die Erforschung faktischer Denkvorgänge, sondern die rationale Nachkonstruktion von Erkenntnis (ebd., 239). Reichenbachs Unterscheidung hat die Form einer vollständigen Disjunktion. Erkenntnis- und wissenschaftstheoretische Rekonstruktion zielt danach auf den synthetischen Aufbau von Satzsystemen in Lehrbuchform ab. Die wissenschaftliche Praxis, die auf diese Satzsysteme führt, wird als irrelevant von der Untersuchung ausgeschlossen.

Durchaus in diesem Sinne hat Carl G. Hempel die Existenz einer ``logic of discovery'' negiert (Hempel 1965 , 6) und auch Larry Laudan hat das Studium der Entdeckung von Theorien als philosophisch irrelevant bezeichnet. Theorien seien Artefakte und die Untersuchung der Art und Weise, wie Artefakte, z. B. Töpferwaren, zustandekommen, gelte normalerweise nicht als philosophische Aktivität (Laudan 1980 , 182). Laudan scheint wie andere Wissenschaftstheoretiker schlicht zu ignorieren, daß Wissenschaft auch der Vollzug komplexer Handlungen und nicht nur das Ergebnis dieser Handlungen ist. Dies gilt sogar für die Philosophie selbst, hatten doch schon Kant und Wittgenstein festgestellt, daß Philosophie keine Lehre, sondern eine Tätigkeit ist.

Die Zeiten ändern sich, und ich möchte an dieser Stelle nur auf zwei neuere Publikationen hinweisen, die dies anzeigen: Helmut Pape hat 1994 einen Sammelband zum Thema Kreativität und Logik herausgegeben, der der Aktualität der Peirceschen Vorschläge zur Hypothesengenerierung und -beurteilung gewidmet ist. Er zeigt darin die Möglichkeit einer ,,Logik der Kreativität auf der Grundlage einer erweiterten intensionalen Relationenalgebra [ ...], welche die gesamte Standardlogik aus Operationen über Relationen entwickelt, die so reich sind, daß sie auch die logische Form kreativer Akte umfassen'' (Pape 1994 , 14).

Mein zweites Beispiel ist Kevin T. Kellys ``logic of reliable inquiry'' (Kelly 1996 ), die aus der formalen Lerntheorie entstanden ist. Der ``logical reliabilist'' geht an induktive Probleme heran wie der Informatiker an Berechnungsprobleme. In einer ``logic of reliable inquiry'' wird das logische Dogma absoluter Sicherheit aufgeben (ebd., 4):

    As we successively weaken the standard of convergence, more and more inductive problems will come to be solvable by methods logically guaranteed to converge to the truth. Thus, we can classify inductive problems into precise layers of difficulty, corresponding to the senses of convergence by which they are solvable and we can do so without going beyond the standard analytical framework of mathematical logic.

Zu den Standardlehren der Wissenschaftstheorie gehört die Einsicht, daß es keine induktiven Maschinen im Sinne automatisierter induktiver Prozeduren gibt, die in jedem Fall aus gegebenen Beobachtungsdaten die besten erklärenden Hypothesen generieren. Schon Carnap hatte allerdings davor gewarnt, allzu weitreichende negative Konsequenzen daraus zu ziehen. Carnaps induktive Logik sollte ihn gerade dem Ziel einer induktiven Maschine näherbringen, einer Maschine allerdings mit anderen, eingeschränkteren Zielsetzungen.4 Auch Kelly gibt sich mit der vorgeblichen Unmöglichkeit induktiver Maschinen nicht zufrieden. Aus der Tatsache, daß es (vielleicht triviale) Entdeckungsprobleme gibt, die algorithmisch lösbar sind, ergibt sich für ihn gerade die Aufgabenstellung, nun präzise anzugeben, ``where the line be"-tween the effectively solvable and the effectively unsolvable discovery problem falls'' (Kelly 1996 , 246). Ich sehe hier eine Analogie zu einer jüngst erschienenen Darstellung der Ergebnisse der endlichen Modelltheorie von Heinz-Dieter Ebbinghaus und Martin Grohe ( 1999 ). Wenn der Gödelsche Unentscheidbarkeitssatz und die Vielzahl weiterer Unentscheidbarkeitsresultate anzeigen, daß es Fragestellungen gibt, die sich nicht algorithmisch lösen lassen, wenn die Komplexitätstheorie zudem zeigt, daß es Fragestellungen gibt, die zwar algorithmisch aber nicht praktisch lösbar sind, weil sie z. B. einer hyperpolynomialen Komplexitätsklasse angehören, so ergibt sich für Ebbinghaus und Grohe nicht etwa die Konsequenz, das Programm algorithmischer Problemlösungen aufzugeben, sondern gerade die Frage zu beantworten, was sich denn praktisch berechnen läßt.

Ich komme nun zu meinem zweiten Teil. Ich möchte behaupten, daß die eben dargestellte, sehr restriktive und selbst auferlegte Einschränkung des Aufgabenbereichs der Wissenschaftstheorie eine (vielleicht unbewußte) Entsprechung in der Philosophie der Mathematik hat. Dies soll an der gängigen Einschätzung von Hilberts axiomatischer Methode veranschaulicht werden. Axiomensysteme des Hilberttyps werden üblicherweise als axiomatisch-deduktive Systeme charakterisiert, deren Ausgangssätze nicht durch Anschaulichkeit oder Evidenz ausgezeichnet sind, sondern durch die meta-axiomatischen Eigenschaften der Unabhängigkeit, Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit. In der Rigidität dieser Charakterisierung fällt es leicht, der Hilbertschen Axiomatik Defizienzen nachzuweisen und daraus dann abzuleiten, daß sie und der oft mit ihr identifizierte Formalismus überholt seien. Als Beispiel für eine solche Deutung sei Carlo Celluccis Kritik an axiomatischen Systemen als ``closed systems'' genannt, die er in Aufsätzen (Cellucci 1993 , 1996 ) und umfassend in seinem Buch Le Ragioni della Logica ( 1998 )5 formuliert hat. Diese Kritik richtet sich gleichermaßen gegen die gegenwärtige mathematische Logik.6 Folgt man Celluccis Rekonstruktion, so haben schon die Begründer der mathematischen Logik im 19. Jahrhundert die axiomatische, d. h. die axiomatisch-deduktive Methode, mit der mathematischen Methode identifiziert und deren Erforschung als Aufgabe für die mathematische Logik gesetzt. Cellucci kritisiert in diesem Zusammenhang drei vorgebliche Grundannahmen der gegenwärtigen mathematischen Logik (1993 , 211):

1. The mathematical method is to be identified with the axiomatic method.
2. Although by Gödel's result no single formal system can represent the whole of mathematics, there are formal systems that are adequate for representing current mathematical practice.
3. In view of this, the notion of formal system as a closed system is adequate for mathematics and is unaffected by Gödel's result.

Dieser Auffassung hält Cellucci entgegen, daß ``the concept of formal system as a closed system is inadequate for mathematics'' (ebd., 212). Seine Alternative beruht auf der Forderung (ebd.),

    that each formal system for any branch of mathematics containing number theory must admit proper extensions, and hence the choice of any particular formal system would be intrinsically provisional, subject to an eventual need to go beyond it. Therefore the concept of formal system as a closed system is incapable of representing the mathematical process.

Mathematik sollte daher als ``open system'' aufgebaut werden. Eine solche Mathematik könne auf einer neuen paradigmatischen Logik, einer ``computational logic'' beruhen, die einige Eigenschaften der Programmiersprache Prolog enthalte. Dort lassen sich z. B. Axiome und Schlußregeln mittels der Prädikate ``assert'' und ``retract'' während eines Beweises ändern.

Ich will im folgenden nicht die von Cellucci vorgeschlagene computational logic kritisieren, sondern ihre Notwendigkeit als neues Paradigma hinterfragen. Ich unterstütze Cellucci, wenn er die Bedeutung analytisch-regressiver Verfahren gegenüber synthetisch-deduktiven Verfahren in der Mathematik betont. Er hat recht, wenn er fordert, daß der mathematische Prozeß , also die Erzeugung von Mathematik, in Logik und Philosophie der Mathematik Berücksichtigung finden muß. Er liegt aber falsch, wenn er Hilbert unterstellt, dies nicht gesehen zu haben, und wenn er glauben macht, daß diese Forderungen von Hilbertschen Axiomensystemen nicht erfüllt werden können. Die Frage ist also, ob axiomatische Systeme nach Hilberts Vorstellungen wirklich geschlossene Systeme sind.7

Fallen mathematische und axiomatische Methode nach Ansicht Hilberts zusammen? ,,Mathematische Methode'' (oder ,,Geometrische'', ,,Euklidische Methode'') ist ein eingeführter Terminus, der den Aufbau von Satzsystemen nach dem Muster der antiken Elemente des Euklid (vgl. Euklid 1973 ) bezeichnet. Alle Sätze (Theoreme) eines solchen Euklidischen Systems werden aus an die Spitze gesetzten Definitionen und Grundsätzen geschlossen. Das Verfahren dieser traditionellen Axiomatik ist synthetisch (aufbauend) und dogmatisch . Grundsätze werden also gesetzt. Sie sind evident und unmittelbar, sie können selbst nicht bewiesen werden, bedürfen aber auch keines Beweises. Im Grunde entspricht auch die von Hilbert gewählte Darstellung , z. B. in den Grundlagen der Geometrie von 1899 , einem Vorgehen nach dieser Art ,,mathematischer Methode'', nur daß Hilbert die Gültigkeit axiomatischer Satzsysteme systemimmanent bestimmt, also ohne Bezug auf eine irgendwie geartete außermathematische Wirklichkeit. Wie die traditionelle Axiomatik ist auch die formalistische moderne Axiomatik in ihrer Darstellung synthetisch und dogmatisch. Wir sollten aber festhalten, daß für Hilbert diese Präsentation des Satzsystems in axiomatischer Form mit der axiomatischen Methode nicht etwa zusammenfällt, sondern lediglich das Ergebnis ihrer Anwendung ist. Die axiomatische Methode selbst ist ein Verfahren zur Strukturierung von Satzbeständen. Hilbert hat sie 1902 in dem Aufsatz ,,Über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck'' wie folgt definiert (Hilbert 1902/03 , 50):

    Unter der axiomatischen Erforschung einer mathematischen Wahrheit verstehe ich eine Untersuchung, welche nicht dahin zielt, im Zusammenhange mit jener Wahrheit neue oder allgemeinere Sätze zu entdecken, sondern die vielmehr die Stellung jenes Satzes innerhalb des Systems der bekannten Wahrheiten und ihren logischen Zusammenhang in der Weise klarzulegen sucht, dass sich sicher angeben lässt, welche Voraussetzungen zur Begründung jener Wahrheit notwendig und hinreichend sind.

Hilbert will also die axiomatische Methode als architektonisches Verfahren einsetzen, welches die Relationen zwischen Voraussetzungen und Folgerungen offenlegt. Die mit ihrer Hilfe hergestellte Ordnung erlaubt es, jedem Satz diejenigen Voraussetzungen zuzuordnen, die in seine Geltung eingehen. Mit dieser Strukturierungsleistung wird die Theoriebildung in der Mathematik ermöglicht. In der im Wintersemester 1919/20 gehaltenen Vorlesung Natur und mathematisches Erkennen hat Hilbert diese Gedanken noch verschärft. Er spricht dort von progressiven und regressiven Aufgaben der Mathematik. Die progressive Aufgabe bestehe in der Entwicklung der Systeme von Relationen und der Untersuchung ihrer logischen Konsequenzen, die regressive Aufgabe in der Herausarbeitung der Voraussetzungen einer Theorie auf der Basis einer klaren Unterscheidung zwischen Annahmen und logischen Folgerungen. Hilbert spricht von der Universalität dieser Aufgaben. Sie sind also nicht auf die Mathematik beschränkt (1992 , 18):

    Diese beiden Aufgaben des mathematischen Denkens sind von sehr allgemeiner Bedeutung; sie beziehen sich nicht nur auf den Kreis der Naturwissenschaften, sondern sie gelten auch für andere Wissensgebiete, z. B. für die Nationalökonomie (Theorie des Geldes). Auch in der Philosophie wird verschiedentlich versucht, das mathematische Denken zur Geltung zu bringen. So ahmt Spinoza in seinem Hauptwerk, der ,,Ethik'', die progressive Methode nach, während neuerdings Nelson in seiner Philosophie von der regressiven Methode der Mathematik Gebrauch macht.

Hilbert betont (ebd.):

    Diese regressive Methode findet ihren vollkommensten Ausdruck in dem, was man heute die ,,axiomatische Methode'' nennt. Diese bildet eine allgemeine Methode des wissenschaftlichen Forschens überhaupt; ihre glänzensten Triumphe feiert sie aber in der Mathematik.

Wir sollten festhalten: Hilbert verwendet den Ausdruck ,,axiomatische Methode'' zur Bezeichung der Vorgehensweise bei der Auffindung und Auszeichnung der Anfänge deduktiver Argumentationen. Der Ausdruck bezeichnet den Weg zur Axiomatisierung eines Wissensgebietes, nicht seine axiomatische Präsentation in Lehrbuchform.

Die axiomatische Methode ist für Hilbert zwar Ausdruck der mathematischen Denkweise, in ihrer Anwendung aber nicht auf die Mathematik beschränkt, nicht einmal auf Satzsysteme, deren Ausgangssätze Axiome sind. Dies zeigt das von Hilbert genannte Beispiel Leonard Nelsons, von dem er wohl auch den Terminus ,,regressive Methode'' übernommen hatte. Nelson lehnte wie Kant eine Anwendung der mathematischen Methode auf die Philosophie strikt ab, schlug in seiner Kritik der praktischen Vernunft von 1917 aber den Aufbau der Ethik nach axiomatischer Methode vor. Nach obiger Begriffsbestimmung ist dies kein Widerspruch, selbst wenn man wie Nelson betont, daß die Grundsätze der Ethik keine Axiome (im Euklidischen Sinne) sind. Nelson identifizierte die axiomatische Methode mit dem zergliedernden Verfahren (Nelson 1908 , § 167, S. 780; Gesammelte Schriften II, 363), das er ganz im Kantschen, letztlich auf Pappus von Alexandria (vgl. Pappus 1986 ) zurückgehenden Sinne verstand. Nelson bezog sich auf die Transzendentale Analytik Kants in der Kritik der reinen Vernunft . Die Transzendentale Analytik wurde von Kant als ,,Zergliederung unseres gesamten Erkenntnisses a priori in die Elemente der reinen Verstandeserkenntnis'' definiert (KrV , B 89). Das zergliedernde Verfahren nannte Kant auch ,,analytische Methode'', und er führte dafür den deskriptiven Namen der ,,regressiven Methode'' ein (Prolegomena , A 42, § 5, Anm.):

    Analytische Methode, sofern sie der synthetischen entgegengesetzt ist, ist ganz was anderes, als ein Inbegriff analytischer Sätze: sie bedeutet nur, daß man von dem, was gesucht wird, als ob es gegeben sei, ausgeht und zu den Bedingungen aufsteigt, unter denen es allein möglich. In dieser Lehrart bedienet man sich öfters lauter synthetischer Sätze, wie die mathematische Analysis davon ein Beispiel gibt, und sie könnte besser die regressive Lehrart, zum Unterschiede von der synthetischen oder progressiven , heißen.

Für Hilbert soll die axiomatische Methode eine ``Tieferlegung der Fundamente'' bewirken (Hilbert 1918 , 148). Mit dieser Metapher ist der dynamische Aspekt Hilbertscher Grundlegungsbemühungen angedeutet, die eben nicht notwendig zu einem endgültigen, also letzten oder absoluten Abschluß gebracht werden müssen, wenn sie nur dem Mathematiker den Rücken für seine Arbeit freihalten, indem sie ihm die Widerspruchsfreiheit der Systeme, mit denen er operiert, sicherstellen. Eine axiomatische Methode dieser Art führt nicht auf ein ``clos"-ed system''!

Im Rahmen des Hilbertschen axiomatischen Programms legt die (deduktive) Logik die Struktureigenschaften des ``Fachwerks von Begriffen'' fest, als das Hilbert mathematische Satzsysteme charakterisiert. Beim Prozeß der Axiomatisierung, also bei der Herstellung der Ordnung der Sätze gibt die Logik durch Fixierung des Möglichkeitsraumes Orientierung. Sie determiniert damit aber den Suchprozeß nach den ersten Sätzen eines axiomatischen Systems nicht vollständig, sondern gibt der Kreativität des Mathematikers, der mathematischen Intuition, aber auch Verfahren wie dem kombinatorischen oder dem ``quasi-empirischen'' (z. B. der ,,trial-and-error-Methode'') Raum. Hier ist auch der Ort, an dem explorative Verfahren wie die genannte computational logic Celluccis, die logic of reliable inquiry Kellys, induktive, probabilistische und nicht-monotone Logiken oder die Peircesche Abduktion Aufgaben im wissenschaftlichen Prozeß übernehmen. In der von Harvey Friedman initiierten ``reverse mathematics'' (Friedman 1975 ) konnte eine ``partial realization'' von Hilberts axiomatisch-regressivem Programm gefunden werden (vgl. Simpson 1988 , Murawski 1994 ). Alle diese Verfahren dienen dem Ziel, den synthetischen Aufbau von Satzsystemen allererst zu ermöglichen.

Mein Vortrag dürfte gezeigt haben, daß analytische und synthetische Methoden in ihrem Zusammenwirken für die Erklärung von Wissenschaft starkgemacht, aber nicht gegeneinander ausgespielt werden sollten. Die formale Logik (einerlei ob klassisch oder nicht-klassisch) kann in kreativen Prozessen nutzbar gemacht werden. Explorative Logiken, die den Findungs- oder Erfindungsprozeß leiten, lösen nicht etwa die traditionelle formale deduktive Logik ab, sondern ergänzen sie.

In Hinblick auf die eingangs erwähnte Erforschung kreativer Prozesse, wie sie konstitutiv für eine Wissensgesellschaft sind, ist hier zugestandenermaßen für Trivialitäten plädiert worden, auch angesichts der abstrakten Höhen, in die heute die Kreativitätsthematik in der Philosophie des Geistes, insbesondere im Rahmen der Debatte zwischen reduktiven Materialisten und Emergenztheoretikern getrieben wurde.8 Daß es nicht ganz überflüssig ist, auch diese Trivialitäten ins Gedächtnis zu rufen, mag mein Hinweis auf die Fehldeutungen der axiomatischen Methode gezeigt haben.

Lassen Sie mich mit einem recht weiten Blick zurück in die Geschichte der Logik enden. Jacobus Zabarella hielt zwar in seinen 1578 erstmals veröffentlichten Opera logica (Zabarella 1597 ) am Syllogismus als einzigem und grundlegendem Beweismittel fest,9 er unterschied aber die kompositive oder synthetische Methode des Beweises, die gegebene Prämissen zu einem Schlußsatz zusammenfügt, von der regressiven oder resolutiven Zerlegung gegebener Sätze in die Bedingungen, aus denen sie folgen. Mit dieser Unterscheidung ist erstmals die moderne Gegenüberstellung von Deduktion und Induktion formuliert, die Methoden sind aber zugleich auch in ihrem Zusammenwirken begriffen. Die resolutive Methode hat ihren Ort innerhalb der Logik selbst, wo sie gegenüber der kompositiven sekundär ist. Sie ist die Dienerin der Demonstration (,,Methodus resolutiua est serua demonstratiuae'').10 Sie zielt auf ,,inventio'' nicht auf ,,scientia''. Vollendetes Wissen erlangen wir allerdings erst, wenn wir, nachdem wir von den Tatsachen auf die Gründe zurückgegangen sind, die Tatsachen wieder deduktiv aus den Gründen ableiten. Wir können diese Einsicht aber auch so wenden: Das Ziel wissenschaftlicher Arbeit ist die synthetische Lehrbuchdarstellung, die als conditio sine qua non die Analyse voraussetzt. Das Zusammenwirken beider Methoden erscheint als Inbegriff des wissenschaftlichen Prozesses.

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Anmerkungen:

1 Vortrag, gehalten am 17. März 1999 auf der internationalen wissenschaftlichen Fachkonferenz ,,Ursprünge und Entwürfe nichtklassischer logischer Ansätze im Übergang von traditioneller zu moderner Logik'', 17.-19. März 1999 in Bremen.

2 Vgl. zu diesem Thema Lutz Dannebergs Buch über Methodologien, das u. a. dem Problem partieller Rationalisierbarkeit des Entdeckungszusammenhanges gewidmet ist und in seinem zweiten Teil kritische Positionen diskutiert (Danneberg 1989 , 66-130).

3 Goethe, Faust I, Vers 1911-1917. Für eine Analyse dieser Stelle vgl. Gabriel 1997 , 26-28.

4 Carnap 1950 , 193. Kelly erweckt den Anschein, als gehöre Carnap zu denen, die jede induktive Maschine ablehnten (Kelly 1996 , 246).

5 Vgl. die kritische Rezension von Gillies ( 1999 ).

6 Vgl. insbesondere Cellucci 1996 .

7 Zur Entwicklung der Hilbertschen Vorstellungen zur Axiomatik s. Peckhaus 1990 .

8 Für einen knappen Überblick s. Heidelberger 1994 .

9 Zabarella, ,,De methodis libri quatuor'' (in Zabarella 1597 ), lib. III, cap. 3, Sp. 226. Vgl. auch die Schrift ,,De regressu'' in derselben Sammlung. Vgl. Risse 1966 .

10 Zabarella 1597 , ,,De methodis libri quatuor'', lib. III, cap. 18, Sp. 266.