Ich komme nun zu meinem zweiten Teil. Ich möchte behaupten, daß die eben dargestellte, sehr restriktive und selbst auferlegte Einschränkung des Aufgabenbereichs der Wissenschaftstheorie eine (vielleicht unbewußte) Entsprechung in der Philosophie der Mathematik hat. Dies soll an der gängigen Einschätzung von Hilberts axiomatischer Methode veranschaulicht werden. Axiomensysteme des Hilberttyps werden üblicherweise als axiomatisch-deduktive Systeme charakterisiert, deren Ausgangssätze nicht durch Anschaulichkeit oder Evidenz ausgezeichnet sind, sondern durch die meta-axiomatischen Eigenschaften der Unabhängigkeit, Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit. In der Rigidität dieser Charakterisierung fällt es leicht, der Hilbertschen Axiomatik Defizienzen nachzuweisen und daraus dann abzuleiten, daß sie und der oft mit ihr identifizierte Formalismus überholt seien. Als Beispiel für eine solche Deutung sei Carlo Celluccis Kritik an axiomatischen Systemen als ``closed systems'' genannt, die er in Aufsätzen (Cellucci 1993 , 1996 ) und umfassend in seinem Buch Le Ragioni della Logica ( 1998 )5 formuliert hat. Diese Kritik richtet sich gleichermaßen gegen die gegenwärtige mathematische Logik.6 Folgt man Celluccis Rekonstruktion, so haben schon die Begründer der mathematischen Logik im 19. Jahrhundert die axiomatische, d. h. die axiomatisch-deduktive Methode, mit der mathematischen Methode identifiziert und deren Erforschung als Aufgabe für die mathematische Logik gesetzt. Cellucci kritisiert in diesem Zusammenhang drei vorgebliche Grundannahmen der gegenwärtigen mathematischen Logik (1993 , 211):
- The mathematical method is to be identified with the axiomatic method.
- Although by Gödel's result no single formal system can represent the whole of mathematics, there are formal systems that are adequate for representing current mathematical practice.
- In view of this, the notion of formal system as a closed system is adequate for mathematics and is unaffected by Gödel's result.
Dieser Auffassung hält Cellucci entgegen, daß ``the concept of formal system as a closed system is inadequate for mathematics'' (ebd., 212). Seine Alternative beruht auf der Forderung (ebd.),
that each formal system for any branch of mathematics containing number theory must admit proper extensions, and hence the choice of any particular formal system would be intrinsically provisional, subject to an eventual need to go beyond it. Therefore the concept of formal system as a closed system is incapable of representing the mathematical process.
Mathematik sollte daher als ``open system'' aufgebaut werden. Eine solche Mathematik könne auf einer neuen paradigmatischen Logik, einer ``computational logic'' beruhen, die einige Eigenschaften der Programmiersprache Prolog enthalte. Dort lassen sich z. B. Axiome und Schlußregeln mittels der Prädikate ``assert'' und ``retract'' während eines Beweises ändern.
Ich will im folgenden nicht die von Cellucci vorgeschlagene computational logic kritisieren, sondern ihre Notwendigkeit als neues Paradigma hinterfragen. Ich unterstütze Cellucci, wenn er die Bedeutung analytisch-regressiver Verfahren gegenüber synthetisch-deduktiven Verfahren in der Mathematik betont. Er hat recht, wenn er fordert, daß der mathematische Prozeß , also die Erzeugung von Mathematik, in Logik und Philosophie der Mathematik Berücksichtigung finden muß. Er liegt aber falsch, wenn er Hilbert unterstellt, dies nicht gesehen zu haben, und wenn er glauben macht, daß diese Forderungen von Hilbertschen Axiomensystemen nicht erfüllt werden können. Die Frage ist also, ob axiomatische Systeme nach Hilberts Vorstellungen wirklich geschlossene Systeme sind.7
Fallen mathematische und axiomatische Methode nach Ansicht Hilberts zusammen? ,,Mathematische Methode'' (oder ,,Geometrische'', ,,Euklidische Methode'') ist ein eingeführter Terminus, der den Aufbau von Satzsystemen nach dem Muster der antiken Elemente des Euklid (vgl. Euklid 1973 ) bezeichnet. Alle Sätze (Theoreme) eines solchen Euklidischen Systems werden aus an die Spitze gesetzten Definitionen und Grundsätzen geschlossen. Das Verfahren dieser traditionellen Axiomatik ist synthetisch (aufbauend) und dogmatisch . Grundsätze werden also gesetzt. Sie sind evident und unmittelbar, sie können selbst nicht bewiesen werden, bedürfen aber auch keines Beweises. Im Grunde entspricht auch die von Hilbert gewählte Darstellung , z. B. in den Grundlagen der Geometrie von 1899 , einem Vorgehen nach dieser Art ,,mathematischer Methode'', nur daß Hilbert die Gültigkeit axiomatischer Satzsysteme systemimmanent bestimmt, also ohne Bezug auf eine irgendwie geartete außermathematische Wirklichkeit. Wie die traditionelle Axiomatik ist auch die formalistische moderne Axiomatik in ihrer Darstellung synthetisch und dogmatisch. Wir sollten aber festhalten, daß für Hilbert diese Präsentation des Satzsystems in axiomatischer Form mit der axiomatischen Methode nicht etwa zusammenfällt, sondern lediglich das Ergebnis ihrer Anwendung ist. Die axiomatische Methode selbst ist ein Verfahren zur Strukturierung von Satzbeständen. Hilbert hat sie 1902 in dem Aufsatz ,,Über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck'' wie folgt definiert (Hilbert 1902/03 , 50):
Unter der axiomatischen Erforschung einer mathematischen Wahrheit verstehe ich eine Untersuchung, welche nicht dahin zielt, im Zusammenhange mit jener Wahrheit neue oder allgemeinere Sätze zu entdecken, sondern die vielmehr die Stellung jenes Satzes innerhalb des Systems der bekannten Wahrheiten und ihren logischen Zusammenhang in der Weise klarzulegen sucht, dass sich sicher angeben lässt, welche Voraussetzungen zur Begründung jener Wahrheit notwendig und hinreichend sind.
Hilbert will also die axiomatische Methode als architektonisches Verfahren einsetzen, welches die Relationen zwischen Voraussetzungen und Folgerungen offenlegt. Die mit ihrer Hilfe hergestellte Ordnung erlaubt es, jedem Satz diejenigen Voraussetzungen zuzuordnen, die in seine Geltung eingehen. Mit dieser Strukturierungsleistung wird die Theoriebildung in der Mathematik ermöglicht. In der im Wintersemester 1919/20 gehaltenen Vorlesung Natur und mathematisches Erkennen hat Hilbert diese Gedanken noch verschärft. Er spricht dort von progressiven und regressiven Aufgaben der Mathematik. Die progressive Aufgabe bestehe in der Entwicklung der Systeme von Relationen und der Untersuchung ihrer logischen Konsequenzen, die regressive Aufgabe in der Herausarbeitung der Voraussetzungen einer Theorie auf der Basis einer klaren Unterscheidung zwischen Annahmen und logischen Folgerungen. Hilbert spricht von der Universalität dieser Aufgaben. Sie sind also nicht auf die Mathematik beschränkt (1992 , 18):
Diese beiden Aufgaben des mathematischen Denkens sind von sehr allgemeiner Bedeutung; sie beziehen sich nicht nur auf den Kreis der Naturwissenschaften, sondern sie gelten auch für andere Wissensgebiete, z. B. für die Nationalökonomie (Theorie des Geldes). Auch in der Philosophie wird verschiedentlich versucht, das mathematische Denken zur Geltung zu bringen. So ahmt Spinoza in seinem Hauptwerk, der ,,Ethik'', die progressive Methode nach, während neuerdings Nelson in seiner Philosophie von der regressiven Methode der Mathematik Gebrauch macht.
Hilbert betont (ebd.):
Diese regressive Methode findet ihren vollkommensten Ausdruck in dem, was man heute die ,,axiomatische Methode'' nennt. Diese bildet eine allgemeine Methode des wissenschaftlichen Forschens überhaupt; ihre glänzensten Triumphe feiert sie aber in der Mathematik.
Wir sollten festhalten: Hilbert verwendet den Ausdruck ,,axiomatische Methode'' zur Bezeichung der Vorgehensweise bei der Auffindung und Auszeichnung der Anfänge deduktiver Argumentationen. Der Ausdruck bezeichnet den Weg zur Axiomatisierung eines Wissensgebietes, nicht seine axiomatische Präsentation in Lehrbuchform.
Die axiomatische Methode ist für Hilbert zwar Ausdruck der mathematischen Denkweise, in ihrer Anwendung aber nicht auf die Mathematik beschränkt, nicht einmal auf Satzsysteme, deren Ausgangssätze Axiome sind. Dies zeigt das von Hilbert genannte Beispiel Leonard Nelsons, von dem er wohl auch den Terminus ,,regressive Methode'' übernommen hatte. Nelson lehnte wie Kant eine Anwendung der mathematischen Methode auf die Philosophie strikt ab, schlug in seiner Kritik der praktischen Vernunft von 1917 aber den Aufbau der Ethik nach axiomatischer Methode vor. Nach obiger Begriffsbestimmung ist dies kein Widerspruch, selbst wenn man wie Nelson betont, daß die Grundsätze der Ethik keine Axiome (im Euklidischen Sinne) sind. Nelson identifizierte die axiomatische Methode mit dem zergliedernden Verfahren (Nelson 1908 , § 167, S. 780; Gesammelte Schriften II, 363), das er ganz im Kantschen, letztlich auf Pappus von Alexandria (vgl. Pappus 1986 ) zurückgehenden Sinne verstand. Nelson bezog sich auf die Transzendentale Analytik Kants in der Kritik der reinen Vernunft . Die Transzendentale Analytik wurde von Kant als ,,Zergliederung unseres gesamten Erkenntnisses a priori in die Elemente der reinen Verstandeserkenntnis'' definiert (KrV , B 89). Das zergliedernde Verfahren nannte Kant auch ,,analytische Methode'', und er führte dafür den deskriptiven Namen der ,,regressiven Methode'' ein (Prolegomena , A 42, § 5, Anm.):
Analytische Methode, sofern sie der synthetischen entgegengesetzt ist, ist ganz was anderes, als ein Inbegriff analytischer Sätze: sie bedeutet nur, daß man von dem, was gesucht wird, als ob es gegeben sei, ausgeht und zu den Bedingungen aufsteigt, unter denen es allein möglich. In dieser Lehrart bedienet man sich öfters lauter synthetischer Sätze, wie die mathematische Analysis davon ein Beispiel gibt, und sie könnte besser die regressive Lehrart, zum Unterschiede von der synthetischen oder progressiven , heißen.
Für Hilbert soll die axiomatische Methode eine ``Tieferlegung der Fundamente'' bewirken (Hilbert 1918 , 148). Mit dieser Metapher ist der dynamische Aspekt Hilbertscher Grundlegungsbemühungen angedeutet, die eben nicht notwendig zu einem endgültigen, also letzten oder absoluten Abschluß gebracht werden müssen, wenn sie nur dem Mathematiker den Rücken für seine Arbeit freihalten, indem sie ihm die Widerspruchsfreiheit der Systeme, mit denen er operiert, sicherstellen. Eine axiomatische Methode dieser Art führt nicht auf ein ``clos"-ed system''!
Im Rahmen des Hilbertschen axiomatischen Programms legt die (deduktive) Logik die Struktureigenschaften des ``Fachwerks von Begriffen'' fest, als das Hilbert mathematische Satzsysteme charakterisiert. Beim Prozeß der Axiomatisierung, also bei der Herstellung der Ordnung der Sätze gibt die Logik durch Fixierung des Möglichkeitsraumes Orientierung. Sie determiniert damit aber den Suchprozeß nach den ersten Sätzen eines axiomatischen Systems nicht vollständig, sondern gibt der Kreativität des Mathematikers, der mathematischen Intuition, aber auch Verfahren wie dem kombinatorischen oder dem ``quasi-empirischen'' (z. B. der ,,trial-and-error-Methode'') Raum. Hier ist auch der Ort, an dem explorative Verfahren wie die genannte computational logic Celluccis, die logic of reliable inquiry Kellys, induktive, probabilistische und nicht-monotone Logiken oder die Peircesche Abduktion Aufgaben im wissenschaftlichen Prozeß übernehmen. In der von Harvey Friedman initiierten ``reverse mathematics'' (Friedman 1975 ) konnte eine ``partial realization'' von Hilberts axiomatisch-regressivem Programm gefunden werden (vgl. Simpson 1988 , Murawski 1994 ). Alle diese Verfahren dienen dem Ziel, den synthetischen Aufbau von Satzsystemen allererst zu ermöglichen.
Mein Vortrag dürfte gezeigt haben, daß analytische und synthetische Methoden in ihrem Zusammenwirken für die Erklärung von Wissenschaft starkgemacht, aber nicht gegeneinander ausgespielt werden sollten. Die formale Logik (einerlei ob klassisch oder nicht-klassisch) kann in kreativen Prozessen nutzbar gemacht werden. Explorative Logiken, die den Findungs- oder Erfindungsprozeß leiten, lösen nicht etwa die traditionelle formale deduktive Logik ab, sondern ergänzen sie.
In Hinblick auf die eingangs erwähnte Erforschung kreativer Prozesse, wie sie konstitutiv für eine Wissensgesellschaft sind, ist hier zugestandenermaßen für Trivialitäten plädiert worden, auch angesichts der abstrakten Höhen, in die heute die Kreativitätsthematik in der Philosophie des Geistes, insbesondere im Rahmen der Debatte zwischen reduktiven Materialisten und Emergenztheoretikern getrieben wurde.8 Daß es nicht ganz überflüssig ist, auch diese Trivialitäten ins Gedächtnis zu rufen, mag mein Hinweis auf die Fehldeutungen der axiomatischen Methode gezeigt haben.
Lassen Sie mich mit einem recht weiten Blick zurück in die Geschichte der Logik enden. Jacobus Zabarella hielt zwar in seinen 1578 erstmals veröffentlichten Opera logica (Zabarella 1597 ) am Syllogismus als einzigem und grundlegendem Beweismittel fest,9 er unterschied aber die kompositive oder synthetische Methode des Beweises, die gegebene Prämissen zu einem Schlußsatz zusammenfügt, von der regressiven oder resolutiven Zerlegung gegebener Sätze in die Bedingungen, aus denen sie folgen. Mit dieser Unterscheidung ist erstmals die moderne Gegenüberstellung von Deduktion und Induktion formuliert, die Methoden sind aber zugleich auch in ihrem Zusammenwirken begriffen. Die resolutive Methode hat ihren Ort innerhalb der Logik selbst, wo sie gegenüber der kompositiven sekundär ist. Sie ist die Dienerin der Demonstration (,,Methodus resolutiua est serua demonstratiuae'').10 Sie zielt auf ,,inventio'' nicht auf ,,scientia''. Vollendetes Wissen erlangen wir allerdings erst, wenn wir, nachdem wir von den Tatsachen auf die Gründe zurückgegangen sind, die Tatsachen wieder deduktiv aus den Gründen ableiten. Wir können diese Einsicht aber auch so wenden: Das Ziel wissenschaftlicher Arbeit ist die synthetische Lehrbuchdarstellung, die als conditio sine qua non die Analyse voraussetzt. Das Zusammenwirken beider Methoden erscheint als Inbegriff des wissenschaftlichen Prozesses.